Аффинная и прямоугольная декартова системы координат  

Аффинная и прямоугольная декартова системы координат


ais-v-globalnih-sistemah-monitoringa.html
ait-v-obrabotke-tablichnoj-informacii.html

Рассмотрим трехмерное пространство.

Определение 8.1. Подаффинной системой ко­ор­динат в трехмерном пространстве будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О и аффинного базиса .

Аффинную систему координат будем обозначать . Точка О называется началом координат, а векторы — координатными векторами.

Аналогично под прямоугольной декартовой системой координат будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О — начала координат и прямоугольного декартового базиса .

Направленные прямые, проходящие через начало координат и па­рал­лельные координатным векторам, называются координатными ося­ми. Оси, параллельные векторам (или векторам ), называются соответственно осями абсцисс, ор­ди­нат и аппликат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Плоскости, опре­де­ляемые осями Ох и Оy, Ox и Oz, Oy и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Систему кординат (или ) обозначают также Oxyz.

В дальнейшем все рассуждения будем вести в прямоугольной декартовой системе координат.

Пусть — прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим произвольную точку А трехмерного пространства.

Определение 8.2. Направленный отрезок называется радиус-вектором точки А.

Заметим, что между точками пространства и их радиус-векторами существует взаимно однозначное соответствие.

Определение 8.3. Координатами (прямоугольными декартовыми координатами) точки А трехмерного пространства называется тройка чисел (x, y, z), где x, y, z — координаты радиус-вектора в ортонормированном базисе , т.е.

. (8.1)

Аналогично названию координатных осей первую координату называют абсциссой, вторую — ординатой и третью — аппликатой точки.

Для построения точки А в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой (8.1). Отложим от точки O векторы , , . Построим прямоугольный параллелепипед так, что его три измерения равны , тогда вектор совпадает с диагональю параллелепипеда. В справедливости вышесказанного несложно убедиться, поочередно складывая векторы , а затем векторы по правилу параллелограмма. Конец вектора и есть искомая точка (см. рис. 9).


Рис. 9

Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем.

Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца).

Рассмотрим две точки А и В, причем , . Найдем координаты вектора (см. рис. 10).


Рис.10

Решение. Из рисунка 10 видно, что . С учетом (8.1), имеем: , . Используя следствие 7.1, получим:

. (8.2)

Таким образом, для того чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала.

Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок , причем и . Пусть данный отрезок точкой M делится в соотношении . Найдем координаты точки М.



Рис. 11

Решение. Из рисунка 11 видно, что справедливо векторное равенство

.

Предположим, что точка M имеет координаты . Находя по формуле (8.2) координаты векторов и учитывая теорему 7.1, получим равенства:

Выражая из первого равенства x, из второго — y, а из третьего — z, находим координаты точки М:

(8.3)

В случае, если , т. е. , получаем формулу координат середины отрезка

(8. )

Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно так же задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).

Проекция вектора на ось

Определение 9.1. Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой.

На рисунке ось будем изображать в виде направленной прямой.

Пусть в пространстве задана ось l и точка А, не принадлежащая оси.

Определение 9.2. Основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую l, точка , называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось.

В случае, если точка А принадлежит оси l, то проекция точки на ось совпадает с самой точкой А.

Пусть задан некоторый вектор . Находя проекции начала и конца вектора на ось l, получимвектор , где — соответственно проекции точек А, В на ось l.

Определение 9.3. Проекцией вектора на ось l будем называть положи­тельное число, равное , если вектор и ось l направлены одинаково (см. рис. 12) и отрицательное число , если вектор и ось l направлены противопо­лож­но (см. рис. 13).

Рис. 12 Рис. 13

Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Таким образом, согласно определению или .

Замечание. Если или , то .

Теорема 9.1. Проекция вектора на ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью l, где под углом понимается наименьший из двух углов, образуемых вектором и осью.

Таким образом,

. (9.1)

Доказательство. В зависимости от величины угла возможны следующие случаи (см. рис. 14):

1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , то . ▲


Рис. 14

Следствие 9.1. Проекция вектора на ось есть число положительное, если угол между вектором и осью острый, и отрицательное, если угол тупой. Если угол прямой, то проекция вектора на ось равна нулю.

Следствие 9.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.




adsorbciya-vodi-i-dinamika-klasterov-vodi-i-polimernoj-setki.html
advokat-i-ego-pravovoj-status.html
advokat-ne-vprave-sodejstvovat-organam-kotorie-osushestvlyayut-operativnuyu-deyatelnost.html
advokatom-yavlyaetsya-lico-poluchivshee-v-sootvetstvii-s-nastoyashim-fz.html
advokatskie-palati-kak-organi-advokatskogo-samoupravleniya-poryadok-ih-sozdaniya-i-funkcii-organi-advokatskoj-palati.html
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
Реферат
    PR.RU™