Аксонометрические проекции. Прямоугольные изометрия и диметрия. Косоугольная диметрия.


afrodicheskie-chastnosti-efirnih-masel.html
after-passing-significant-point.html

План лекции

1. Коэффициент искажения.

2. Прямоугольная изометрическая проекция.

3. Прямоугольная диметрическая проекция.

4. Косоугольная диметрическая проекция.

При изложении настоящего курса для наглядного изображе­ния расположенных в пространстве относительно выбранных плос­костей проекций точек, линий, плоскостей, многогранников, сечений конической поверхности плоскостями использовались проекции, называемые аксонометрическими (от древнегреческого «аксон» — ось, «метрио» — измеряю) или аксонометрией. Их часто используют для наглядного изображения деталей машин, инструментов на чер­теже, особенно на начальных этапах проектирования.

Способ аксонометрического проецирования состоит в том, что данная фигура вместе с осями прямоугольных координат, к которым она отнесена в пространстве, проецируется параллель­но на некоторую плоскость, принятую за плоскость аксономет­рических проекций (эту плоскость называют также картинной плоскостью).

При параллельном проецировании, если направление про­ецирования перпендикулярно к аксонометрической плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют прямоуголь­ной, если направление проецирования не перпендикулярно к плоскости проекций, аксонометрическую проекцию называют косоугольной. В прямоугольной аксонометрической проекции оси присоединенных прямоугольных координат располагают непараллельно плоскости аксонометрических проекций.

Применяемые в отечественной конструкторской документации аксонометрические проекции стандартизованы в ГОСТ 2.317-69.

Рассмотрим образование аксонометрической проекции на при­мере изображения параллелепипеда с квадратным основанием рис. 1 путем последовательного преобразования его ортого­нальных проекций вместе с осями. При повороте параллелепипеда рис. 1а с осями х и у вокруг оси z по стрелке А на 45° получаем его изображение рис. 1б с повернутыми осями х1 и y1 и сохранившейся вертикальной осью z. При повороте изоб­ражения на профильной проекции с осями z", x"1, у"1 по стрелке Б на угол 30° получаем изображение рис. 183в с осями z"1, х"2, y''2, расположенными под некоторыми углами к картинной плоскости P(PW). Параллельная проекция рис. 183г по стрелке В на плоскости Р и является аксонометрической проекцией па­раллелепипеда с осями на плоскости Р. Аксонометрическую плос­кость при этом не обозначают (ею является плоскость бумаги).

а) б)

в) г)

Рис. 1

Проекции осей координат хр, ур, zp на плоскости аксоно­метрических проекций называют аксонометрическими осями (в дальнейшем индекс «р» будет опускаться).

При различном взаимном расположении осей координат в пространстве и плоскости аксонометрической проекции и при разных направлениях проецирования можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга на­правлением аксонометрических осей и масштабами по ним. Это положение доказано теоремой К. Польке, которая утверждает:три отрезка произвольной длины, лежащие в одной плоско­сти и выходящие из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных от­резков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.



Рассмотрим направление аксонометрических осей и масш­табы по ним для направления проецирования, перпендикуляр­ного аксонометрической плоскости проекций, т. е. для прямоугольной аксонометрической проекции.

Коэффициент искажения

На рисунке 2 изображена про­странственная система ортогональных координат Ox, Oy, Oz,единичные отрезки е на осях координат и их проекции в на­правлении S на некоторую плоскость Р, являющуюся аксоно­метрической плоскостью проекций. Проекции ех, еу, еz отрезка е на соответствующих аксонометрических осях Орхр, Орур, Opzp в общем случае не равны отрезку е и не равны между собой. Отрезки ех, еу, ez являются единицами измерения по аксоно­метрическим осям — аксонометрическими единицами (аксо­нометрическими масштабами).

Отношения

называют коэффициентами искажения по аксонометричес­ким осям.

В частном случае положение картинной плоскости можно выбрать таким, что аксонометрические единицы — отрезки ех, еу, ez— будут все равны между собой или будет равна между собой пара этих отрезков.

При ех = еу = ez (k = m = n) аксонометрическую проекцию называют изометрической; искажения по всем осям в ней оди­наковы. При равенстве аксонометрических единиц по двум осям, обычно при ех = еz ≠ еу (k = n ≠ m),имеем диметрическую проекцию. Если ех ≠ еу ≠ еz, то проекцию называют триметрической.

Картинная плоскость Р на рисунке 185 изображена так, что она пересекает все три координатные оси Ox, Oy, Oz в точках х, у, z соответственно. Рассмотрим прямоугольную аксоно­метрию. В этом случае отрезок ООр перпендикулярен плоско­сти Р. Отрезки Орх, Ору, Opz являются аксонометрическими проекциями отрезков Ox, Oy, Oz и представляют собой ка­теты прямоугольных треугольников,

Рис. 2

гипотенузы которых – отрезки Ох, Оу, Oz. Обозначим углы между осями координат и их проекциями на плоскостиР через α, β, γ.Тогда

Рис. 3

Эти отношения являются коэффициентами искажения, т. е.

k = cosα; m = cosβ; n = cosγ.

Известно, что для отрезка OOP┴P сумма квадратов направ­ляющих косинусов равна единице:

cos2 (π/2 - α) + cos2 (π/2 - β) + cos2 (π/2 - γ) = 1.

Отсюда

sin2α + sin2β + sin2γ = 1

или

1 – cos2α + 1 – cos2β + 1 – cos2γ = 1.

Тогда

cos2α + cos2β + cos2γ = 2

или

k2 + m2 + n2 = 2,

т. е. сумма квадратов коэффициентов искажения равна 2.




afanasij-lavrentevich-ordin-nashyokin.html
afarskij-avstralopitek-po-prozvishu-lyusi.html
afazii-klassifikaciya-klinicheskie-proyavleniya-topicheskaya-diagonostika-osnovnie-prichini-vozniknoveniya.html
affekti-ih-psihologicheskaya-harakteristika-affektivnie-sledi-problema-detekcii-lzhi.html
affiksalnoe-slovoproizvodstvo.html
ч     PR.RU™